f''-3f'+2f=0 の解は？
微分作用素をDとして、与えられた方程式は(D-1)(D-2)f=0
ここで一般に(D-k)f=0の解はC*e^kxなので、f(x)=C1*e^x+C2*e^2x
全く同じようにして線形漸化式の一般項が出るんですよね
a[n+2]-3a[n+1]+2a[n]=0 の一般項は？
左シフト作用素をLとして、与えられた方程式は(L-1)(L-2)a=0 (※)
ここで一般に(L-k)a=0の解はC*k^nなので、a[n]=C1*1^n+C2*2^n
(※)微分方程式を解く時には、測度0の集合上での違いを無視する(ように同値類を定めて割る)のと同様に、高々有限個の項の違いは無視している
ね？簡単でしょ
ついでにもう1問
f'''-6f''+12f'-8f=0 の解は？
(D-2)^3 f = 0 なので、f(x)=(C2*x^2+C1*x+C0)e^2x
a[n+3]-6a[n+2]+12a[n+1]-8a[n]=0 の一般項は？
(L-2)^3 a =0 なので、a[n]=(C2*n^2+C1*n+C0)2^n
これでもう任意の線形漸化式の一般項を出せるね。めでたしめでたし
